「双曲線を媒介変数で表すにはどうすればいいの？」という疑問は、数学の応用的な学習段階でよく出てくるものです。
双曲線の媒介変数表示には、三角関数を使う方法と双曲線関数を使う方法の2種類があります。
本記事では、双曲線の媒介変数表示の公式と表し方を、パラメータt・三角関数表示・双曲線関数表示・座標変換の観点から丁寧に解説していきます。
双曲線の媒介変数表示はx＝a/cosθ、y＝b tanθ（三角関数版の結論）
それではまず、三角関数を使った双曲線の媒介変数表示の公式と意味について解説していきます。
双曲線 x²/a²−y²/b²＝1 の媒介変数表示（三角関数版）：x＝a/cosθ＝a secθ、y＝b tanθ
これらをx²/a²−y²/b²に代入すると、sec²θ−tan²θ＝1（三角関数の恒等式）となり、確かに双曲線の方程式を満たします。
θの範囲は枝によって異なり、右枝では −π/2＜θ＜π/2、左枝では π/2＜θ＜3π/2 となります。
双曲線関数を使った媒介変数表示
より自然な媒介変数表示として、双曲線関数（hyperbolic function）を使う方法があります。
x＝a cosh(t)＝a・(eᵗ＋e⁻ᵗ)/2
y＝b sinh(t)＝b・(eᵗ−e⁻ᵗ)/2
（tは実数全体：−∞＜t＜∞）
確認：x²/a²−y²/b²＝cosh²t−sinh²t＝1 ✓
この表示は右枝（x＞0）のみを表しており、左枝（x＜0）はx＝−a cosh(t)とします。
双曲線関数による表示は、楕円の三角関数による媒介変数表示（x＝a cosθ、y＝b sinθ）と完全に対応する、美しい表現です。
楕円との媒介変数表示の比較
楕円の媒介変数表示はx＝a cosθ、y＝b sinθであり、三角関数の恒等式 cos²θ＋sin²θ＝1 を利用しています。
双曲線の媒介変数表示は、「＋」が「−」に変わる恒等式 cosh²t−sinh²t＝1 を利用します。
楕円→三角関数、双曲線→双曲線関数という対応は非常に覚えやすく、この類似性が双曲線関数の名称の由来にもなっています。
媒介変数表示の応用と座標変換
続いては、媒介変数表示の応用と座標変換について確認していきます。
弧長の計算への応用
双曲線の弧長（曲線の長さ）を積分で求める際、媒介変数表示を使うと計算がスムーズになります。
弧長の公式 L＝∫√{(dx/dt)²＋(dy/dt)²} dt に、双曲線関数による媒介変数表示を代入することで計算を進めることができます。
この計算には双曲線関数の微分公式が必要となるため、双曲線の媒介変数表示と双曲線関数の知識は密接につながっています。
面積の計算への応用
双曲線と直線または軸で囲まれた領域の面積を求める際にも、媒介変数表示が有効です。
双曲線関数を使った媒介変数表示のtは「双曲線上の点と原点を結ぶ扇形の面積の2倍」という幾何学的な意味を持ちます。
これは円の場合にθが「扇形の角度（半径1の円弧の面積の2倍）」に対応することとの美しい類似です。
座標変換と直角双曲線の媒介変数表示
直角双曲線 xy＝k の媒介変数表示は、x＝√k・eᵗ、y＝√k・e⁻ᵗ（k＞0の場合）と表せます。
これはxy＝（√k・eᵗ）×（√k・e⁻ᵗ）＝k（eᵗ×e⁻ᵗ＝e⁰＝1）となり確かに成立します。
また xy＝k を 45度回転した座標系で書くと、双曲線関数による標準的な媒介変数表示と一致することも確認できます。
双曲線の媒介変数表示には三角関数版（x＝a secθ、y＝b tanθ）と双曲線関数版（x＝a cosh t、y＝b sinh t）の2種類があります。楕円の媒介変数表示（x＝a cosθ、y＝b sinθ）と対応させて覚えると理解が深まります。弧長・面積計算などへの応用でも重要です。
まとめ
本記事では、双曲線の媒介変数表示の公式と表し方を、三角関数版・双曲線関数版の両方から解説しました。
楕円との類似性を意識することで双曲線の媒介変数表示の理解が深まり、弧長・面積の計算への応用もスムーズになります。
双曲線関数の基本的な性質（cosh²t−sinh²t＝1）をしっかり理解した上で、媒介変数表示を活用していただければ幸いです。
